一、拉格朗日中值定理 到底该怎么理解？
先说罗尔定理，罗尔定理的，意义很简单，就是两个相同高度的点，一个在左边，一个在右边，从左边的点走到右边的点有无数条路径，其中一条特殊的是两点之间线段最短的走法，
罗尔定理的意义就是在这无数条路中，无论哪一条，走到某一个位置的时候方向必然与上面那条特殊走法的方向相同，这是必然的嘛，无论怎么走，当然大方向不能变。比如大方向朝东，你先向东北，再向东南走到目的地，在从东北转向东南的时候转向正东。或者一直往正东走。无论怎么走某一个时刻都是往正东的，这就是所谓的罗尔定理。
而拉格朗日中值定理就是将两个点的连线倾斜了一点而已。
从函数角度来说，在一段连续的曲线上，必存在一个点，它的切线的斜率等于整段曲线的斜率(首尾两点相连的线，即割线的斜率)
二、请问太空科幻片里面常说的“拉格朗日（+任意数字）”是什么意思？
一般指的是拉格朗日点吧，也就是天体系统中的引力平衡点。
在任何一个双天体系统中会存在5个拉格朗日引力平衡点，分别以L1~L5来表示。
以地月系为例。
L1点在地球和月球之间；L2点在月球的背面；L3点在月球绕地球运转的轨道上但是与月球相差180度，也就是与月球相对的位置；L4和L5也在月球轨道上，但分别在月球之前和之后60度。
拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：流体力学中的拉格朗日定理；微积分中的拉格朗日定理；数论中的拉格朗日定理；群论中的拉格朗日定理。
好像是一种函数定理！
被知道
三、高等数学利用拉格朗日证明不等式的问题
你好！
你理解的非常正确，那个点（或者可能有不止一个）是依存与函数f和区间[a,b]而客观存在的，如果直接人为指定那个点的值，那是绝对错误的！
但是我们仍然可以运用拉格朗日中值定理来证明不等式，原因并不在于我们可以指定任意一点c的值，而是在于我们可以找出f'(c)的范围，因为c是在区间(a,b)上的，所以这个范围有可能能被找到。找到了f'(c)的范围，从而也就找出(f(x)-f(a))/(x-a)的范围，最后找出f(x)的范围，从而证明不等式。
就以你的最后那个题目为例说明如何运用f'(c)的范围找f(x)的范围：
首先，设f(x)=ln(x+1),根据对数函数的可导性，我们有：对于任意的正数x，函数f在[0,x]上连续，（0，x）上可导，从而满足拉格朗日中值定理的前提条件。
所以在(0,x)上存在一点c使得：(f(x)-f(0))/(x-0)=f'(c)，也就是：
f(x)=xf'(c)
然后，根据我上面提到的，我们可以确定f'(c)的范围：
因为f'(x)=1/(x+1)，所以f'(c)=1/(1+c)并且0<c<x，根据“分母越大，分数值越小”原理，我们很容易发现当c为0时，f'(c)最大，当c为x时，f'(c)最小，也就是说，f'(c)的范围是：
1/(1+x) < f'(c) < 1
带入上式“ f(x)=xf'(c) ”
就有
x/(1+x) < f(x) < x
证毕。
回顾上例，我们的c并不是人为指定的，但是我们知道f'(c)的范围，f'(c)的范围即为拉格朗日中值定理等式左边那项的范围，f的范围也就随之而定了。
构建两个函数，反证法证明。
拉格朗日定理：设f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则存在一点
c属于(a,b)，使得f(a)-f(b)=f'(c)(a-b)
既然定理说存在这么一点，我们就可以直接拿来用，至于到底有几个可不管。
对于这个不等式的证明，要用拉格朗日来证明它，先可以取f(x)=ln(1+x)
f在[0,x]满足连续，在(0,x)上可导。
则由拉格朗日定理知，存在c属于开区间(0,x)，使得f(x)-f(0)=f'(c)(x-0)
即ln(1+x)=x/(1+c) ,0<c<x
而x/(1+x)<x/(1+c)<x
所以x/(1+x)<ln(1+x)<x (x>0)
f(x)=In(x),g(x)=x
存在&满足x<&<x+1，使[f(x+1)-f(x)]/[g(x+1)-g(x)]=f'(&)/g'(&)，这步能理解吧。
而f'(&)/g'(&)=1/&,由x<&<x+1，1/(x+1)<1/&<1/x
回代，得证。。关于定理的理解，
（这一点应该是客观存在的，而且有多少还不一定能够知道，老师却是人为指定那一点的值让不等式得证，这不是矛盾了吗？）
不是人为制定那一点，是从满足条件的点中任意取一点，都能使不等式得证的，不矛盾。
拉格朗日的定理跟证明不等式的核心思想是将不等式转化为一个有范围的不确定的值，利用这个值的范围进行缩放，证明不等式
如果不明白，百度Hi我吧，1个小时之内有时间给你解答
6:3≠7:2
≠
四、有没有大神能通俗的讲一下拉格朗日中值定理
用现实的例子就是：
意思就是如果你从A走到B，平均速度是v。
那么你在走的这个过程中一定有一个时刻的瞬时速度是v。
理由是：你肯定是有时候走的比v快 有时候比v慢，速度是不能突变的，在速度变化的过程中就至少有一个时刻是v。
连续可导的函数 y = f(x) 曲线上取不同两点 A( a, f(a) ), B( b, f(b) ), (a < b),
总存在一点 x = ξ (a < ξ < b)， 在点 C( ξ, f(ξ) ) 处曲线的切线斜率等于割线 AB 的斜率。