1. 用拉格朗日
这个定理是高数中比较基础且比较难的问题。一般是证明题中运用得比较多。比如说证明一个不等式。需要用到公式中的，切记这个是满足区间中的任意数，要正确理解任意的含义。 举一个证明的列子，书上也出现过的。证明（b-a）/b<lnb-lna<(b-a)/a要正确证明这个题，要先构造一个函数f(x)=lnx,然后运用拉格朗日中值定理。
2. 用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理
如果函数f(x)及F(x)满足：
(1)在闭区间[a，b]上连续；
(2)在开区间(a，b)内可导；
(3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，
那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。
柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。
3. 用拉格朗日中值定理证明不等式
辅助函数法：
已知 在 上连续，在开区间 内可导，
构造辅助函数
可得又因为 在 上连续，在开区间 内可导，
所以根据罗尔定理可得必有一点 使得
由此可得
变形得
定理证毕。
4. 用拉格朗日中值定理证明a-b/a左=AB+A非B+AB非=AB+AB+A非B+AB非=（AB+A非B）+（AB+AB非）=（A+A非）B+（B+B非）A=B+A=右证毕
5. 用拉格朗日中值定理证明e^x>ex
证明如下：如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0
6. 用拉格朗日定理证明a-b/a
拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：流体力学中的拉格朗日定理；微积分中的拉格朗日定理；数论中的拉格朗日定理；群论中的拉格朗日定理。
正压理想流体在质量力有势的情况下，如果初始时刻某部分流体内无涡，则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为无涡。以某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c），作为该质点的标志。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
7. 用拉格朗日中值定理求极限
1、打开matlab软件，如图中所示。
2、打开后如下。
3、清空我们的界面和工作空间：clear; %清空工作空间，clc; %清空工作界面。
4、定义一个符号变量，syms x;。
5、定义一个函数，比如：y=(1-exp(1/x))/(x+exp(1/x))。
6、求解极限值，输入一下指令，lim_y=limit(y,x,0,'right')。
7、查看我们的结果，ezplot(y2,[-4,4]),grid on,title('y=(1-exp(1/x))/(x+exp(1/x))')；。
8、如图，这是我们的解图。
8. 用拉格朗日乘数法求极值如何判断是极大值
拉格朗日乘数原理（即拉格朗日乘数法）由用来解决有约束极值的一种方法。
有约束极值：举例说明，函数 z=x^2+y^2 的极小值在x=y=0处取得，且其值为零。如果加上约束条件 x+y-1=0,那么在要求z的极小值的问题就叫做有约束极值问题。
上述问题可以通过消元来解决，例如消去x，则变成
z=(y-1)^2+y^2
则容易求解。
但如果约束条件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此时消元将会很繁，则须用拉格朗日乘数法，过程如下：
令
f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)
令
f对x的偏导=0
f对y的偏导=0
f对k的偏导=0
解上述三个方程，即可得到可让z取到极小值的x,y值。
拉格朗日乘数原理在工程中有广泛的应用，以上只简单地举一例，更复杂的情况（多元函数，多限制条件）可参阅高等数学教材。
9. 用拉格朗日乘子法计算在两个等式约束条件
1、如果x>y，那么yy；（对称性)；
2、如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）；
3、如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
4、如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
5、如果x>y，z<0，那么xz
6、如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；
7、如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
8、如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂
10. 用拉格朗日方程法不能进行阻尼振动系统的建模
当计算一些数值比较大的计算题时，可以用拉格朗日乘数法
左=AB+A非B+AB非=AB+AB+A非B+AB非=（AB+A非B）+（AB+AB非）=（A+A非）B+（B+B非）A=B+A=右证毕
5. 用拉格朗日中值定理证明e^x>ex
证明如下：如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0
6. 用拉格朗日定理证明a-b/a
拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：流体力学中的拉格朗日定理；微积分中的拉格朗日定理；数论中的拉格朗日定理；群论中的拉格朗日定理。
正压理想流体在质量力有势的情况下，如果初始时刻某部分流体内无涡，则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为无涡。以某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c），作为该质点的标志。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
7. 用拉格朗日中值定理求极限
1、打开matlab软件，如图中所示。
2、打开后如下。
3、清空我们的界面和工作空间：clear; %清空工作空间，clc; %清空工作界面。
4、定义一个符号变量，syms x;。
5、定义一个函数，比如：y=(1-exp(1/x))/(x+exp(1/x))。
6、求解极限值，输入一下指令，lim_y=limit(y,x,0,'right')。
7、查看我们的结果，ezplot(y2,[-4,4]),grid on,title('y=(1-exp(1/x))/(x+exp(1/x))')；。
8、如图，这是我们的解图。
8. 用拉格朗日乘数法求极值如何判断是极大值
拉格朗日乘数原理（即拉格朗日乘数法）由用来解决有约束极值的一种方法。
有约束极值：举例说明，函数 z=x^2+y^2 的极小值在x=y=0处取得，且其值为零。如果加上约束条件 x+y-1=0,那么在要求z的极小值的问题就叫做有约束极值问题。
上述问题可以通过消元来解决，例如消去x，则变成
z=(y-1)^2+y^2
则容易求解。
但如果约束条件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此时消元将会很繁，则须用拉格朗日乘数法，过程如下：
令
f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)
令
f对x的偏导=0
f对y的偏导=0
f对k的偏导=0
解上述三个方程，即可得到可让z取到极小值的x,y值。
拉格朗日乘数原理在工程中有广泛的应用，以上只简单地举一例，更复杂的情况（多元函数，多限制条件）可参阅高等数学教材。
9. 用拉格朗日乘子法计算在两个等式约束条件
1、如果x>y，那么yy；（对称性)；
2、如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）；
3、如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
4、如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
5、如果x>y，z<0，那么xz
6、如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；
7、如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
8、如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂
10. 用拉格朗日方程法不能进行阻尼振动系统的建模
当计算一些数值比较大的计算题时，可以用拉格朗日乘数法